函数不可积是什么情况
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原因如下：
可以假设这样一个函数
f（x）=1（x是有理数的时候）；=0（x是无理数的时候）
那么f（x）在x为任意实数的时候，只有1和0两种取值，所以f（x）是有界的。
但是在任意区间内（无论是开区间还是闭区间），都有无数个有理数和无理数。所以f（x）在任意区间内斗有无数个间断点，所以这个函数在任意区间内斗不可积。
什么是有界函数：
有界函数是设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。
有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。
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楼上的例子是正确的, 但理论依据是错误的.
数学分析里面指出, 如果在定义域内有有限的不连续点, 则函数可被黎曼积分.
但如果不连续点的数目是无穷的, 则函数不能被黎曼积分.
设f(x) = 1若x为有理数且f(x)=0若x为无理数, 则f(x)在[0,1]上黎曼不可积 (其他积分方法仍然可能成立)
分析: 因为有理数和无理数在[0,1]内都是稠密的, 所以无论如何对[0,1]进行分割, 在每段小区间内总有有理数和无理数, 所以函数在此区间内的最小值是0, 最大值是1, 所以求和上限的极限是1, 求和下限的极限是0, 两者不收敛于同一个值, 所以黎曼不可积.
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不连续不可积，有界的比方f（x）=1 x为有理数
-1 x为无理数
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不连续点如果不是零测集就不可积
