已知三角形ABC的三边长a,b,c满足b+c≤2a,c+a≤2b,则(a+b)²/ab的取...

发布网友 发布时间：2024-09-27 22:06

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热心网友 时间：2024-09-27 22:01

已知三角形ABC的三边长a,b,c满足b+c≤2a,c+a≤2b,则(a+b)²/ab的取值范围是？

最小值是a=b=c时候，得到最小值4

最大比较麻烦：

利用内切圆切线长代换

令

a=x+y

b=y+z

c=z+x

x,y,z>0

设x+y+z=1

b+c≤2a

2z≤x+y

c+a≤2b

2x≤y+z

M=(a+b)²/ab

=(x+2y+z)²/(y(x+y+z)+xz)

=(1+y)²/(y+xz)

当y固定时，

x+z=1-y也固定

2z≤x+y

2x≤z+y

所以当2/3>=y>1/3时候

xz>=(1/3)(-y+2/3)

M=(1+y)²/(y+xz)

<=(1+y)²/(y+(1/3)(-y+2/3))

=(3/2)(1+y)²/(y+1/3))

令y+1/3=t

1>=t>2/3

(3/2)(1+y)²/(y+1/3))

=(3/2)(t+2/3)²/t

=2+(3/2)[t+(4/9)(1/t)]

<=2+13/6

=25/6

当1>=y>2/3时候

xz>=0

M=(1+y)²/(y+xz)

<=(1+y)²/y=2+y+1/y<=2+2/3+3/2=25/6

但是如果y=2/3则要求x，z之一为0，所以25/6是上限，但是取不到。

所以综上，所求的范围是：

[4，25/6)

热心网友 时间：2024-09-27 22:07

三角形必须满足两边之和大于第三边
所以 b+c>a c+a>b
结合已知得
a<b+c≤2a ①
b<c+a≤2b ②
将①变形得
-2a≤-(b+c)<-a ③
将②+③得
b-2a<a-b<2b-a
由不等式左边b-2a<a-b得3a>2b
所以b/a<3/2
由不等式右边a-b<2b-a得2a<3b
所以b/a>2/3
所以b/a的取值范围是2/3<b/a<3/2
数学处理后可得2/3<a/b<3/2
(a+b)²/ab
=(a²+2ab+b²)/ab
=a²/ab+2ab/ab+b²/ab
=a/b+2+b/a
2/3+2+2/3<a/b+2+b/a<3/2+2+3/2
10/3<(a+b)²/ab<5