python科学计算11:LU分解及线性方程组的求解
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发布时间：2024-09-25 18:36
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时间：2024-09-25 20:29
通过LU分解可以简化线性方程组的求解过程。
在求解线性方程组的时候，我们知道可以把线性方程组写成矩阵相乘的形式：[公式]，那么按照最直接的方案，我们肯定是想着先计算矩阵 [公式] 的逆矩阵，得到解 [公式] 的向量。
但是这并不是最为高效的计算方法，实际上在线性代数中我们学习过，更好的方法是对系数矩阵[公式] 进行 [公式] 分解，即表示为 [公式]，其中 [公式] 矩阵是下三角矩阵，而 [公式] 矩阵式上三角矩阵，那么得到了两个三角矩阵 [公式] 和 [公式] 之后，具体该怎么办呢？很简单：
第一步通过正向替换求解[公式]，得到 [公式] 矩阵；
第二步通过反向替换求解[公式]，即得到了我们实际要求的未知数矩阵 [公式]。
有读者可能会问了，之前我们通过一步计算[公式] 就可以算出结果，而你这里却需要两步，谈何简化呢？要知道，这里的矩阵 [公式] 和 [公式] 是两个三角矩阵，三角矩阵的计算是非常高效的。
在python当中，可以利用SymPy里面的sympy.Matrix类的LUdecomposition方法来进行[公式] 分解，这个方法可以简便的文创分解工作，依次返回 [公式] 矩阵、 [公式] 矩阵和一个行交换矩阵，这个行交换矩阵我们暂时用不到。还是看这个例子：
[公式]
[公式]
写成：[公式] 的形式， [公式]
那么，下面我们就来看如何对矩阵[公式]进行 [公式] 分解：
代码片段：
运行结果：
从运行结果来看，我们完成了[公式] 分解，依次得到了 [公式] 矩阵 [公式]和 [公式] 矩阵[公式]，当然，这这是一个过程的展示，实际求解方程的时候，我们不用自己显式的去进行 [公式] 分解，A.LUsolve(b)直接解决问题，python在解方程的过程中，就自动的完成了 [公式] 分解的过程。
另外，使用scipy中的线性代数模块la，也可以完成[公式] 分解，利用la.lu可以完成，不过返回的值有所不同，他返回的是三个矩阵：置换矩阵 [公式] 、矩阵 [公式] 和矩阵 [公式]，满足 [公式] 总体思路是一样的，不过这里的矩阵 [公式] 和矩阵 [公式]自然就和sympy得到的略有区别。看看代码：
代码片段：
运行结果：
从结果中，我们看出，我们得到了矩阵[公式] 和矩阵 [公式]，通过scipy的方法，同样得到了正确的方程解。并且最后我们还小小验证了一把，发现[公式]
