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定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x属于[-1,1]

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解答如下:
(1)
∵f(x+2)=-f(x)
∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x),即得到f(x)的周期为4
当x属于[1,3]时,x-2属于[-1,1]
所以f(x-2)=(x-2)^3
而由于f(x)的周期为4,∴f(x-2)=f(x-2+4)=f(x+2)=-f(x)
∴f(x)=-f(x-2)=-(x-2)^3
当x属于[3,5]时,x-4属于[-1,1],所以f(x)=f(x-4)=(x-4)^3
所以f(x)={-(x-2)^3 x属于[1,3]
{(x-4)^3 x属于[3,5]

(2)由题意即求x/f(x)的最大值,易得最大值为无穷大,所以实数a的取值范围为任何实数,即为 R

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f(x+2)= -f(x),
所以,f(x+4)= -f(x+2)=f(x),即f(x)周期为4.

分两段考虑:
当x属于[1,3]时,x-2属于[-1,1],
此时,f(x)= -f(x-2)= -(x-2)^3 ;
当x属于[3,5]时,x-4属于[-1,1],
此时,f(x)= f(x-4)= (x-4)^3 .

(2)f(x)>a有解,只需a小于f(x)的最大值。由图知,f(x)的最大值为3,(当x取1,5,9……时)
所以a<3.

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f(x)=-x^3 [1.3]
f(x)=x^3 [3.5]

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