二重积分 请帮看看式子列的对不对?
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正确的，画个草图即可
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设D={(x,y)∣0≦x≦1, 0≦y≦√(1-x²)}；求<D>∫∫∣x-y∣dxdy;
解：这个积分域D是以原点O为园心，1为半径的单位园在第一象限内的部分。即D=D+D
如图：
<D>∫∫∣x-y∣dxdy=<D₁>∫∫(y-x)dxdy+<D₂>∫∫(x-y)dxdy
【作极坐标变换：x=rcosθ，y=rsinθ，dxdy=rdrdθ，代入得】
=∫<π/4, π/2>(sinθ-cosθ)dθ∫<0,1>r²dr+∫<0,π/4>(cosθ-sinθ)dθ∫<0,1>r²dr
=(1/3)[∫<π/4, π/2>(sinθ-cosθ)dθ+∫<0,π/4>(cosθ-sinθ)dθ]
=(1/3)[-cosθ-sinθ]<π/4, π/2>+(1/3)[sinθ+cosθ]<0,π/4>
=(1/3)[(-cosπ/2-sinπ/2)-(-cosπ/4-sinπ/4)]+(1/3)[(sinπ/4+cosπ/4)-(sin0+cos0)]
=(1/3)[(0-1)-(-√2/2-√2/2)]+(1/3)[(√2/2+√2/2)-(-0+1)]
=(1/3)[-1+√2]+(1/3)[√2-1]=(2/3)(√2)-1；
【注：你做的是错的。】
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设D={(x,y)∣0≦x≦1, 0≦y≦√(1-x²)}；求<D>∫∫∣x-y∣dxdy;
解：这个积分域D是以原点O为园心，1为半径的单位园在第一象限内的部分。即D=D+D
如图：
<D>∫∫∣x-y∣dxdy=<D₁>∫∫(y-x)dxdy+<D₂>∫∫(x-y)dxdy
【作极坐标变换：x=rcosθ，y=rsinθ，dxdy=rdrdθ，代入得】
=∫<π/4, π/2>(sinθ-cosθ)dθ∫<0,1>r²dr+∫<0,π/4>(cosθ-sinθ)dθ∫<0,1>r²dr
=(1/3)[∫<π/4, π/2>(sinθ-cosθ)dθ+∫<0,π/4>(cosθ-sinθ)dθ]
=(1/3)[-cosθ-sinθ]<π/4, π/2>+(1/3)[sinθ+cosθ]<0,π/4>
=(1/3)[(-cosπ/2-sinπ/2)-(-cosπ/4-sinπ/4)]+(1/3)[(sinπ/4+cosπ/4)-(sin0+cos0)]
=(1/3)[(0-1)-(-√2/2-√2/2)]+(1/3)[(√2/2+√2/2)-(-0+1)]
=(1/3)[-1+√2]+(1/3)[√2-1]=(2/3)(√2)-1；
【注：你做的是错的。】
