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...已知点A的坐标为(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,连接OA.抛物线y=x...

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解:(1)设OA所在直线的函数解析式为y=kx,
∵A(2,4),
∴2k=4,
∴k=2,
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x.(2分)
(2)①∵顶点M的横坐标为m,且在线段OA上移动,
∴y=2m(0≤m≤2)
∴顶点M的坐标为(m,2m)
∴抛物线函数解析式为y=(x-m)2+2m
∴当x=2时,y=(2-m)2+2m=m2-2m+4(0≤m≤2)
∴点P的坐标是(2,m2-2m+4).(2分)
②∵PB=m2-2m+4=(m-1)2+3,
又∵0≤m≤2,
∴当m=1时,PB最短.
此时抛物线的解析式为y=(x-1)2+2.(2分)

(3)当线段PB最短时,此时抛物线的解析式为y=(x-1)2+2,
①过P作直线L∥OA,设直线L:y=2x+h,
又P的横坐标为2,把x=2代入抛物线解析式得:y=3,
则把P的坐标(2,3)代入得:4+h=3,解得:h=-1;
∴直线L:y=2x-1,联立抛物线的解析式有:

解得;
此时抛物线与直线L只有一个交点为P(2,3),故此种情况不成立;
②在点A的上方截取AD=AP,即D(2,5);
过D作直线L′∥OA,设直线L′:y=2x+h′,
则有:4+h′=5,h′=1;
∴直线L′:y=2x+1,联立抛物线的解析式有:

解得,;
抛物线上存在点Q1(2+,5+2),Q2(2-,5-2),使△QMA与△PMA的面积相等.(2分)

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(1) 将(0,0)与(2,4)代入y=kx+b,得y=2x
(2)①M(m,2m),新的抛物线解析式y=(x-m)^2+2m,P(2,4-2m+m^2)
②由P点纵坐标可得,m=1时,y最小,此时PB最短
(3)存在,(2-根号2,5-2倍根号2)

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