地下水流确定性管理
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发布时间：2022-04-22 04:19
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时间：2023-12-02 05:17
地下水流系统的优化管理模型是地下水系统模拟模型与优化技术通过特定的技术方法耦合而构成的。最常用的地下水系统优化管理模型依地下水流系统模拟模型与优化模型的不同结合分为响应矩阵法模型和嵌入法模型。
4.2.1 响应矩阵法的基本原理
响应矩阵法首先运用地下水系统的模拟预测模型来确定系统的输出（水位或水位降深）对系统的输入（抽水量或回灌量）的响应关系———单位脉冲响应函数，并形成其函数的集合———响应矩阵。这种输入-输出的函数响应关系反映了所研究的地下水系统本身所具有的物理规律，主要是水均衡原理和能量转化及守恒原理，具体表现为系统的状态变量（水位或水位降深）与可控输入变量（抽水量或回灌量）间的数量关系。然后将这种数量关系应用在优化模型中，用可控输入变量（决策变量）将需要加以控制的状态变量表达出来。在此基础上，综合考虑其他因素，完成优化管理模型的构建。
运用响应矩阵法构建地下水系统的优化管理模型，可以显著地减少优化模型中决策变量和约束方程（或不等式）的个数。原因在于：①状态变量在优化模型中不以决策变量的形式出现。②运用单位脉冲响应函数，状态变量能够用可控输入变量予以表达。③只需将在优化模型中需要加以控制的那部分状态变量用可控输入变量表达出来，而其余的状态变量在优化模型中并不出现。但响应矩阵法只适用于线性地下水流系统，对于非线性地下水流系统该方法具有局限性。
4.2.1.1 线性系统
如果系统的输入为x1（t）时，相应的输出为y1（t）；输入为x2（t）时，相应的输出为y2（t），而当输入为x1（t）+x2（t）时，相应的输出为y1（t）+y2（t），则表示该系统遵循叠加原理。
如果系统的输入为x（t）时，相应的输出为y（t），而当输入为αx（t）时，相应的输出为αy（t），α为任意常数，则表示该系统遵循倍比原理。
既遵循叠加原理又遵循倍比原理的系统，称为线性系统。但需要注意的是不能简单地根据输入与输出有线性关系的数学表达式，就认为它是线性系统。事实上，例如y（t）=ax（t）+b，a，b为任意常数，显然输入x（t）与输出y（t）具有线性关系的数学表达式，然而它却不属于线性系统。因为当输入分别为x1（t）和x2（t）时，相应的输出分别为y1（t）=ax1（t）+b和y2（t）=ax2（t）+b，而当输入为x1（t）+x2（t）时，输出为a［x1（t）+x2（t）］+b≠y1（t）+y2（t），说明该系统不遵循叠加原理，所以不属于线性系统。
线性系统又可分为线性时变系统和线性时不变系统。若线性系统的参数随时间变化，则称为线性时变系统。若线性系统的参数不随时间变化，则称为线性时不变系统。
线性系统遵循的叠加原理的性质具有重要的应用价值。当需求解由多项输入引起的综合响应时，可分别求解由各单项输入引起的响应，然后将这些响应叠加起来，即可作为由多项输入引起的综合响应。
由偏微分方程及其定解条件构成的地下水流系统模拟模型，一般均属非线性系统，但可从中分离出来一个属于线性系统的一个子模型。为了能够阐明问题，我们以二维承压各向同性地下水系统的模拟模型为例加以说明，其模型为：
地下水系统随机模拟与管理
式中：D——地下水系统的模拟渗流区域；
（x，y）——平面坐标；
t——时间；
h——地下水头；
T——导水系数；
μ*——储水系数；
Γ1和Γ2——分别为一类和二类边界；
-n———边界的内法线方向；
q（x，y，t）——在边界Γ2法线方向上的单宽流量，补给时为正，排泄时为负；
p（x，y，t）——可控输入变量（如抽水、回灌等）；
ε（x，y，t）——不可控输入变量。
显然，式（4.10）表示了一种自然——人工复合流场。
若把可控输入p（x，y，t）作为该地下水系统的输入信号，将水位作为系统的输出响应，当定解条件（包括初始条件和边界条件）或不可控输入ε（x，y，t）不为零时，则该预测模型属于非线性系统（许涓铬、邵景力，1988）。
为了能够从该预测模型中分离出来一个线性系统的子模型，可将预测模型（4.10）式分解成如下两个子模型：
地下水系统随机模拟与管理
地下水系统随机模拟与管理
其中子模型式（4.11）描述的是没有可控输入，仅由初始条件、边界条件和不可控输入影响下形成的自然水位及相应的自然流场。子模型式（4.12）描述的是仅由人工可控输入作用而产生的降深 S 及相应的人工流场。由这两个子模型所描述的流场的叠加，即为由模型式（4.10）所描述的自然-人工复合流场，其中 h=H+S，即两个子模型的解的代数和与模型式（4.10）的解相等。容易证明子模型式（4.11）仍属非线性系统，而子模型式（4.12）则属于线性系统。在后面我们将阐明，如何运用属于线性系统的子模型式（4.12）计算单位脉冲响应函数值。
4.2.1.2 单位脉冲响应函数
对于一个线性时不变系统，当给系统输入一个单位量的瞬时脉冲δ（t）（当t=0，δ（t）=1；当t≠0，δ（t）=0）时，系统所产生的输出响应称为单位脉冲响应，用函数μ（t）来表示，μ（t）即为单位脉冲响应函数。
对于一般的线性系统而言，如果在τ时刻给系统输入一个单位量，系统在t时刻产生的输出响应记为μ（t-τ）称为单位脉冲响应函数，其中t-τ表示时间间隔。当在τ时刻给系统的输入量为x（τ）时，按倍比原理，则系统在t时刻产生的输出响应为x（τ）·μ（t-τ）。当系统的输入在0—t之间连续进行时，按叠加原理，系统在t时刻产生的累计输出响应记为y（t），它等于输入函数x（τ）与单位脉冲响应函数的卷积：
地下水系统随机模拟与管理
式中：x（τ）——系统的输入；
μ（t-τ）——单位脉冲响应函数；
y（t）——系统在t时刻的输出响应。
在解决实际问题时，常常将连续的时间过程划分为若干个离散的时段，与式（4.13）对应的离散形式为：
地下水系统随机模拟与管理
式中：n——总时段数；
t=n·Δt；
k——第k个时段；
tk=k·Δt，k=1，2，…，n。
4.2.1.3 地下水系统的单位脉冲响应函数和响应矩阵
前面已经说明，模型式（4.12）是一个线性系统。我们把描述其输入与输出关系的单位脉冲响应函数记为β（di，dj，t-τ），它的物理意义是，在τ时刻在dj点以单位流量抽水，在 t时刻在di点所产生的降深响应。t-τ为时间间隔。当在 dj点以流量Q（dj，τ）在0—t 之间连续抽水时，di点在t 时刻产生的累计降深响应则为：
地下水系统随机模拟与管理
经离散处理后，单位脉冲响应函数的离散形式为β（i，j，n-k+1），表示第j个结点在第k个时刻以单位流量抽水，第i结点在第n个时刻末所产生的降深响应。当在第j个结点上以流量Q（j，k）在k=1，2，…，n各时段连续抽水时，第i个结点在第n个时段末所产生的累计降深响应为：
地下水系统随机模拟与管理
若同时有m个井同时抽水时，则它们所产生的综合累计降深响应为：
地下水系统随机模拟与管理
如果一个地下水系统有m个抽水井，时间过程划分为n个时段，计算它们对于一个水位控制点的单位脉冲响应就得到了m×n个单位脉冲响应函数值，它们构成了一个二维数值矩阵（m×n），称为响应矩阵。如果水位控制点共有l个，则形成了一个三维响应矩阵（m×n×l）。
对于稳定流问题，与时间无关，如果有m个抽水井，l个水位控制点，则形成一个二维响应矩阵（m×l）。
必须注意，在地下水系统单位脉冲响应函数的两种写法中，即β（i，j，n-k+1）和β（i，j，r），括号内的第三项指标都表示输入时刻与计算输出时刻之间的时间间隔。它们之间的对应关系为：
地下水系统随机模拟与管理
在β（i，j，n-k+1）中，当k=1时相当于β（i，j，r）中，r=n。在β（i，j，n-k+1）中，当k=n时，相当于在β（i，j，r）中，r=1。
地下水系统的单位脉冲响应函数表达了地下水系统状态输出对于可控输入的响应关系，其中蕴含了地下水系统本身所固有的物理规律，是水均衡原理和能量守恒及转化原理的反映。并且当单位脉冲响应函数为已知时，就能够用可控输入变量（如抽水量）把状态变量（如水位或水位降深）表示出来。
由以上分析可知，当单位流量确定后，单位脉冲响应函数值仅与地下水系统本身的特征有关。取决于含水介质的类型，水文地质参数，地下水系统几何形状等。对于非稳定流问题，还与时间有关。在求算单位脉冲响应函数时，抽水的单位流量可任意选定，一般以能使整个地下水系统内的各水位控制点处都有明显的响应值且又不至于在系统边界处产生较大的影响为依据来确定其大小。
根据地下水系统的预测模型，运用数值法求解单位脉冲响应函数乃至响应矩阵的具体操作过程如下：
首先从预测模型中分解出来一个属于线性系统的子模型，如模型式（4.12）。然后利用该子模型进行计算。
对于稳定流问题，在第j个结点以单位流量抽水，计算在第i个结点上产生的降深，即为单位脉冲响应函数在β（i，j）的函数值。当j=1，2，…，m；i=1，2，…，l时，重复上述过程，就得到了单位脉冲响应函数值的一个集合——二维响应矩阵（m×l），其中m为输入点（开采井）总数，l为水位控制点数。
对于非稳定流问题，可以通过以下两种途径中的任意一种来求算。
（1）在第一个时段内在第j个结点以单位流量抽水，以后各时段不抽水，对应于时段r=1，2，…，n，n为总时段数，计算第i个结点处的剩余降深，这便是单位脉冲响应函数β（i，j，r）的值。对应于j=1，2，…，m；r=1，2，…，n；i=1，2，…，l，就形成了一个三维响应矩阵（m×n×l）。
（2）在第j个结点以单位流量在各个时段持续抽水，计算在第i个结点处第r时段末与第r-1时段末所产生的累计降深的差值，即为单位脉冲响应函数β（i，j，r）的值。对应于j=1，2，…，m；r=1，2，…，n；i=1，2，…，l，同样形成了一个三维响应矩阵（m×n×l）。
对于响应系数以至于响应系数矩阵的确定方法除了上述的数值计算方法以外，也可直接利用抽水试验方法或解析计算方法获得。例如对于选定的水源地，在水源地勘探阶段可在计划的取水点以水量Q进行抽水，在拟进行水位控制的点进行水位观测，假设在t时刻在第i点观测到的水位降深为si，其响应系数为U=si/Q。同样的方法通过连续观测可获得不同点在不同时间的响应系数。
应该注意的是响应矩阵法完全建立在线性系统的倍比原理基础上，对于非线性地下水系统，响应矩阵法具有很大的局限性，有必要引入其他方法构建的地下水管理模型。
4.2.2 嵌入法的基本原理
嵌入法是把地下水系统预测模型的转换形式——代数方程组嵌入到优化模型中，作为等式约束，连同有关地下水管理的其他约束条件和目标函数一起，构成地下水系统优化管理模型。其结构组成如下：
地下水系统随机模拟与管理
其中作为等式约束的代数方程组反映了地下水系统本身所固有的物理规律，主要包括水均衡原理和能量转化及守恒原理，具体表现为水位与抽水量间的数量关系。这些规律必须自始至终得到严格遵循，因此必须反映在优化模型之中。其他约束条件包括水力状态约束、供需水量约束、生态环境约束及社会经济约束等。
下面以运用嵌入法构建地下水系统分布参数优化管理模型的过程为例对嵌入法予以说明。若描述地下水系统定解问题中的偏微分方程是线性的，那么由该定解问题所构成的预测模型经离散化处理后，总可以得到一个线性代数方程组：
地下水系统随机模拟与管理
式中：［］——矩阵；
||———列向量；
[A]、[B]———分别为线性代数方程组的系数矩阵，[A]取决于地下水系统的参数和离散化单元的大小、形状等因素，[B]为对角矩阵；
|H|———状态变量的列向量，表示各结点、各剖分结点（或单元）、各时段的抽水量、人工回灌量等；
|F|———已知的右端列向量，反映了系统的初始条件和边界条件。
假若以线性规划作为优化模型，那么只要将线性代数方程组（4.14）式嵌入到线性规划的模型中，作为等式约束条件，连同其他约束条件和目标函数一起，就构成了一个线性规划优化管理模型，其向量形式的表达式为：
目标函数
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约束条件
地下水系统随机模拟与管理
式中：———价值系数的行向量；
［D］、［E］——约束条件中的系数矩阵；
|G|———约束条件中的右端列向量；
其余符号的意义与式（4.14）相同。
式（4.15）为目标函数，把预测模型中的状态变量|H|和可控制输入变量|P|均作为优化模型中的决策变量。如果以获得最大的抽水量为目标，则价值系数|C1|T=（1，1，…，1）而|C2|T=（0，0，…，0）；如果以各结点的水位总和最大为目标，则|C1|T=（0，0，…，0），而|C2|T=（1，1，…，1），模型中的约束条件可分为三类；式（4.16）为地下水系统预测模型的转换形式，说明了预测模型是优化管理模型的基础。式（4.17）为其他约束条件，包括了水力状态约束、供需水量约束、生态环境约束及社会经济约束等。式（4.18）为非负约束。
上述线性规划模型就是运用嵌入法将地下水系统的预测模型与优化模型耦合在一起而构建的一种地下水系统优化管理模型。
